Description

给出一个类似杨辉三角的三角形，要求在上边选出m条走n步的路径，并满足：
1. 每条路径只能往左下/右下走，；
2. 第i+1条路径必须在第i条路径的右侧（可以重合）；

在给出一些要求，规定第x条路径的第y步一定往左下/右下走。
求方案数$\mod10^9+7$

Solution

题意转化：构造m个n位二进制数，设$s_{i,x}$表示第i个数前x位有多少个为1，则构造的数要满足$s_{i,j}\leq s_{i+1,j}$，

$O(n2^{2n})$的DP显然，考虑优化，

我们看100101这个数对那些数有贡献，
100101
101001
110001
110010
110011…..
发现，每次相当于把一个1往前移动，或者添加一个1，
考虑用这个来优化，

设f[i][j][S]表示做到第i个数，当前数的前j位和S的前j位一样，
转移：
当前数第j位要为1，s第j位也为1，直接转移到j+1；
0同理，
当前数第j位要为0，s第j位为1，不合法；
当前数第j位要为1，s第j位为0，
那么，就找到s在第j位以后的第一个1，把它变成0，再把第j位变成1，（前移）
如果后面没有，就之间吧第j位变成1（添加）

这样每做一个数，答案就是f[i][n][s]，

复杂度：$O(n^22^n)$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int N=22,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n,m1,ans;
int a[N][N];
int f[2][N][1<<20];
int er[N+10];
int zx[1<<21][22];
int main()
{
    freopen("!.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int q,w,e;
    er[1]=1;fo(i,2,22)er[i]=er[i-1]<<1;
    read(n),read(m),read(m1);--n;
    fo(i,1,m1)read(q),read(w),a[q][w]=1+read(e);
    fo(i,0,er[n+1]-1)
    {
        q=0;
        fod(j,n,1)if(er[j]&i)q=j;
        else zx[i][j-1]=q;
    }
    f[0][n][0]=1;
    fo(i,1,m)
    {
        register int I=i&1,q;
        fo(j,0,er[n+1]-1)f[I][0][j]=f[!I][n][j],f[!I][n][j]=0;
        fo(j,0,n-1)
        {
            fo(k,0,er[n+1]-1)if(f[I][j][k])
            {
                if(!a[i][j+1]||a[i][j+1]-1==((k&er[j+1])>>j))((f[I][j+1][k]+=f[I][j][k])>=mo?f[I][j+1][k]-=mo:0);
                if(!(k&er[j+1])&&a[i][j+1]!=1)
                {
                    q=k+er[j+1]-er[zx[k][j]];
                    ((f[I][j+1][q]+=f[I][j][k])>=mo?f[I][j+1][q]-=mo:0);
                }
                f[I][j][k]=0;
            }
        }
    }
    fo(i,0,er[n+1]-1)((ans+=f[m&1][n][i])>=mo?ans-=mo:0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}